10 La forma de una regresión
Qué está haciendo el modelo por dentro, en dibujos
Un recorrido visual por lo que hace una regresión: qué son el intercepto y la pendiente, qué cambia al agregar una covariable categórica o una segunda continua, qué es una interacción, y por qué la regresión lineal, la Poisson y la logística son el mismo modelo con una distribución distinta. Sin código: puros dibujos y la idea detrás.
Este capítulo va entre Modelos y las regresiones. Ahí vas a escribir el código; aquí vas a entender qué está dibujando ese código.
Todas las figuras usan el mismo ejemplo, que es el que trabajamos con datos reales en el capítulo de encuestas: presión arterial sistólica (PAS) y edad.
10.1 La línea y sus dos números
Una regresión lineal simple es una línea recta, y una línea recta queda completamente descrita por dos números:
- El intercepto (\(\beta_0\)) es dónde arranca la línea: el valor de la PAS cuando la edad vale cero.
- La pendiente (\(\beta_1\)) es qué tanto sube la línea: cuántos mmHg cambia la presión por cada año más de edad.
Fíjate en la zona sombreada de la figura: es el rango de edades que realmente se observó. El intercepto está fuera de esa zona, en edad = 0.
O sea que \(\beta_0 = 100\) mmHg es “la presión de un recién nacido según el modelo”, que es una extrapolación absurda: nadie midió recién nacidos y la relación no es lineal hasta allá.
El intercepto es un ancla matemática, no un dato clínico. Por eso muchas veces se centra la edad (restarle su promedio), y entonces el intercepto sí significa algo: la presión de una persona de edad promedio.
10.1.1 Los dos números se mueven por separado
Dos poblaciones pueden tener el mismo efecto de la edad pero partir de niveles distintos:
O pueden partir del mismo lugar y que la edad les pegue distinto:
Esta distinción es la que después vas a estar leyendo en las tablas de coeficientes, y es la que más se confunde al interpretar resultados:
- Un cambio en el intercepto es un problema de nivel: alguien está más alto o más bajo en general.
- Un cambio en la pendiente es un problema de velocidad: a alguien la exposición le pega más fuerte.
En salud pública llevan a decisiones distintas. Si dos estados tienen la misma pendiente pero distinto intercepto, el problema es basal y le toca a atención primaria. Si tienen distinta pendiente, algo está acelerando el daño en uno de ellos, y eso es una pregunta de investigación.
10.2 Agregar una variable categórica
¿Qué pasa cuando metemos el sexo al modelo? Geométricamente: la línea se duplica y una se desplaza hacia arriba o abajo.
Las dos líneas son paralelas. Eso no es casualidad ni un resultado de los datos: es lo que el modelo PAS ~ edad + sexo supone por construcción. Al escribirlo así le estás diciendo a R: “el efecto de la edad es el mismo en hombres y mujeres; lo único que cambia es el punto de partida”.
El coeficiente de sexo es exactamente la distancia vertical entre las dos líneas. Cuando en el capítulo de encuestas el modelo dio \(-10.5\) mmHg para las mujeres, ese número es esta separación.
10.3 Agregar una segunda variable continua
Con dos variables continuas la línea deja de ser línea: se vuelve un plano en tres dimensiones.
Cada coeficiente es la inclinación del plano en una dirección. El de la edad es qué tanto sube el plano si caminas en el eje de la edad sin moverte en el del IMC. Eso es, literalmente, el famoso “manteniendo lo demás constante”.
Y si además agregamos el sexo, tenemos dos planos paralelos:
Porque explica de dónde sale la interpretación de los coeficientes en regresión múltiple, y por qué es tan fácil equivocarse.
Cuando reportas “el efecto de la edad ajustado por IMC”, estás reportando la inclinación de un plano en una dirección. Ese número existe aunque el plano no describa bien tus datos. El modelo siempre te va a dar un coeficiente; que sea interpretable es cosa tuya.
10.4 Interacción: cuando las líneas dejan de ser paralelas
Todo lo anterior supone paralelismo. Una interacción es justamente permitir que las pendientes sean distintas:
En fórmula, pasas de PAS ~ edad + sexo a PAS ~ edad * sexo. En el dibujo, las líneas se cruzan o se abren en abanico.
Cuando en vez de dos grupos tienes muchos (clínicas, municipios, jurisdicciones) y quieres que cada uno tenga su propia pendiente, entras al terreno de los modelos multinivel. La idea es la misma: dejar de imponer una sola línea para todos.
Meter interacciones “por si acaso” es una de las formas más rápidas de encontrar resultados falsos: con suficientes interacciones, alguna sale significativa por azar.
La interacción se pone cuando tienes una razón para pensar que el efecto es distinto entre grupos, y esa razón se escribe antes de ver los datos.
10.5 Cuando la relación no es una línea
¿Y si la presión no sube de forma constante con la edad, sino que se acelera? Se agrega un término cuadrático (edad²). Lo bonito es que el modelo sigue siendo lineal:
En el espacio de (edad, edad²) la relación vuelve a ser un plano. Por eso a estos modelos se les sigue llamando lineales: son lineales en los coeficientes, no necesariamente en las variables. Puedes meter logaritmos, cuadrados, raíces y splines y seguir estando en una regresión lineal.
10.6 Los residuales: lo que el modelo no explicó
El residual de una persona es la distancia vertical entre su dato y la línea: qué tanto le erró el modelo a ella.
La regresión lineal elige la línea que hace esas distancias lo más chicas posible (en realidad, la suma de sus cuadrados). Y hace un supuesto sobre ellas:
El panel izquierdo es homocedástico: el modelo se equivoca más o menos lo mismo en gente joven que en gente mayor. El derecho es heterocedástico: el error crece con la edad.
La regresión lineal clásica supone lo primero. Si tienes lo segundo, los coeficientes siguen estando bien pero los errores estándar están mal, y con ellos tus valores p e intervalos.
Esto es exactamente lo que buscas en la gráfica de escala-locación del capítulo de regresiones, y lo que se corrige con errores robustos o —como en la ENSANUT— con el diseño de encuesta.
10.7 El salto conceptual: la línea es el promedio de una distribución
Aquí viene la idea que convierte “la regresión” en “las regresiones”. Hasta ahora vimos la línea como la predicción. En realidad la línea es algo más sutil: es el promedio de una distribución que se mueve.
En cada edad no hay un valor de presión: hay toda una distribución de presiones posibles. Lo que la línea dibuja es el centro de esa campana. Escrito formalmente:
\[ \text{PAS} \mid \text{Edad} \sim \text{Normal}(\beta_0 + \beta_1 \cdot \text{Edad},\ \sigma^2) \]
Fíjate en un detalle de la segunda figura: todas las campanas tienen el mismo ancho. Eso es la homocedasticidad otra vez, ahora dicha de otra forma: la distribución se mueve de lugar pero no cambia de forma.
10.8 Cambia la distribución, cambia el modelo
Y aquí está el truco completo. Si en vez de una Normal pones otra distribución, obtienes otra regresión. Nada más.
10.8.1 Poisson: para conteos
La Poisson describe conteos (0, 1, 2, 3…) con un solo parámetro: su promedio. Y a diferencia de la Normal, cuando su promedio cambia, la distribución cambia de forma, no sólo de lugar:
En la Poisson, la varianza es igual a la media. No es una opción: es parte de la definición. Por eso, cuando tus datos varían más que eso, el modelo se queda corto y hay que usar quasipoisson o binomial negativa.
Es exactamente lo que nos pasó en el capítulo de encuestas con las tomas de presión: la dispersión salió en 1.97 en lugar de 1.
Y fíjate en algo más de las figuras: como la Poisson vive en los enteros no negativos, nunca predice conteos negativos. Ése es justo el problema que tuvo el ARIMA con los casos de dengue en el capítulo de series de tiempo, que sí los predijo.
10.8.2 Logística: para sí/no
Cuando el desenlace es binario, el promedio de la distribución es una probabilidad, y las probabilidades tienen que quedarse entre 0 y 1. Ahí está el problema: una línea recta se sale de ese rango.
La solución es transformar. Y esto genera la confusión más común de toda la epidemiología, porque el mismo modelo se ve distinto en tres escalas:
- En escala logit (el logaritmo del momio) el modelo es una recta. Ahí viven los coeficientes que
Rte reporta. - En escala de momios, al exponenciar, es una curva exponencial. Ahí viven los
OR. - En escala de probabilidad es una sigmoide (una S). Ahí vive lo que la gente quiere saber.
El
ORes constante, el efecto en probabilidad no. Un mismoORmueve poquito la probabilidad en los extremos de la S y mucho en el centro. Por eso “el riesgo aumenta 40%” es una frase que depende de en qué parte de la curva estás.El punto de corte lo pones tú. La línea punteada en
p = 0.5de la tercera figura no es estadística: es una decisión sobre cuántos falsos positivos aceptas. Es lo mismo que decíamos en Modelos sobre clasificación y regresión.La sigmoide nunca llega a 0 ni a 1. El modelo jamás va a decir “esta persona seguro tiene hipertensión”. Siempre da una probabilidad.
10.8.3 Multinomial: para más de dos categorías
Si el desenlace tiene tres o más categorías (presión normal, elevada, alta), se ajusta una línea por categoría contra una de referencia:
Y esas líneas se convierten en probabilidades que siempre suman 100%:
Por eso una categoría es la referencia y no tiene coeficientes propios: si conoces las probabilidades de las demás, la que falta queda determinada. Es la misma razón por la que en la regresión con sexo sólo aparece Mujer y no Hombre.
10.9 Y las series de tiempo también son esto
El último caso. Cuando los datos vienen ordenados en el tiempo, lo que se agrega al modelo es el pasado de la propia variable:
La parte AR (autorregresiva) es, literalmente, una regresión de la serie contra sí misma corrida un periodo. Si le quitas ese componente a la serie, lo que queda debe verse como ruido sin estructura:
Compara la autocorrelación de la serie original con la del residual. Ése es exactamente el diagnóstico que hicimos con el dengue: la autocorrelación pasó de 0.95 a prácticamente cero, y eso fue la señal de que el ARIMA ya había absorbido la dependencia.
El componente MA (medias móviles) hace lo mismo pero con los errores pasados en vez de los valores pasados. Un ARIMA es la suma de las dos ideas.
10.10 El mapa completo
Todo lo que vas a ver en los siguientes capítulos es una variación de la misma receta:
| Si tu desenlace es… | La distribución es… | El modelo se llama | Lo que reportas |
|---|---|---|---|
| Una medición continua | Normal | Regresión lineal | Cambio en unidades |
| Un conteo | Poisson | Regresión de Poisson | Razón de tasas |
| Sí / no | Bernoulli | Regresión logística | OR o RP |
| Varias categorías | Multinomial | Logística multinomial | OR por categoría |
| Una serie en el tiempo | Normal + dependencia | ARIMA |
Pronóstico e intervalo |
Siempre es la misma estructura:
\[ \text{desenlace} \sim \text{Distribución}\big(f(\beta_0 + \beta_1 x_1 + \beta_2 x_2 + \dots)\big) \]
Lo que cambia entre un modelo y otro es qué distribución pones y qué función \(f\) usas para que el promedio caiga en el rango correcto (positivo para conteos, entre 0 y 1 para probabilidades).
Si entiendes eso, no estás aprendiendo cinco modelos: estás aprendiendo uno con cinco vestidos.
10.11 Ejercicios
Todos son de lápiz y papel: este capítulo no tiene código a propósito.
Dibuja. En una hoja, dibuja los ejes de PAS contra edad y traza: (a) dos líneas con la misma pendiente y distinto intercepto, (b) dos con el mismo intercepto y distinta pendiente. Para cada caso, escribe una frase de salud pública que describa lo que significaría.
Traduce a fórmula. Escribe la fórmula de
Rpara cada situación:- La presión depende de la edad, igual para hombres y mujeres, pero arrancando en niveles distintos.
- La presión depende de la edad y ese efecto es más fuerte en mujeres.
- La presión sube con la edad, pero cada vez más rápido.
El intercepto. Un modelo de peso contra estatura da un intercepto de \(-95\) kg. ¿Está mal el modelo? ¿Qué significa ese número? ¿Cómo lo harías interpretable?
Escalas de la logística. Con la figura de las tres escalas, contesta: si la probabilidad de hipertensión pasa de 0.10 a 0.20, ¿el cambio en la escala de probabilidad es mayor o menor que cuando pasa de 0.45 a 0.55? ¿Y en la escala logit? ¿Por qué la gente se confunde con esto?
Elige el modelo. Para cada desenlace, di qué distribución usarías y por qué: (a) número de consultas en un año, (b) si la persona acudió o no a consulta, (c) el peso al nacer en gramos, (d) si el parto fue eutócico, cesárea o instrumentado, (e) casos semanales de dengue en un municipio.
2. (a) PAS ~ edad + sexo · (b) PAS ~ edad * sexo · (c) PAS ~ edad + I(edad^2)
5. (a) Poisson, es un conteo · (b) Bernoulli/logística, es sí-no · (c) Normal, es una medición continua · (d) Multinomial, son tres categorías sin orden natural · (e) Poisson y además con estructura de serie de tiempo, porque los casos de una semana dependen de los de la anterior. Ése es justo el caso difícil del capítulo de dengue.
10.12 Continuación
Ya sabes qué está dibujando el modelo. Ahora vamos a escribirlo:
- Regresiones (parte 1), la lineal a detalle.